I elektrofaget møter du signaler som svinger frem og tilbake, for eksempel vekselspenning fra stikkontakten. Disse svingningene beskrives matematisk med sinus og cosinus. For å forstå og arbeide med slike signaler må du kjenne definisjonene, se dem i en graf og vite hva de forteller deg i praksis.
Sinus, cosinus og tangens er forholdstall mellom sidene i en rettvinklet trekant, knyttet til en vinkel. Sinus er motstående side delt på hypotenusen, cosinus er hosliggende side delt på hypotenusen, og tangens er motstående side delt på hosliggende side. Grafisk viser sinus og cosinus bølgeformer som er sentrale i vekselspenning.
Definisjoner hentes fra en rettvinklet trekant. Velg en av de to spisse vinklene, kall den v. Da gjelder følgende: sinus til v (sin v) er forholdet mellom siden som ligger mot vinkelen og hypotenusen. Cosinus til v (cos v) er forholdet mellom siden som ligger inntil vinkelen og hypotenusen. Tangens til v (tan v) er forholdet mellom siden mot vinkelen og siden inntil vinkelen.
Kort oppsummert: sin v = motstående / hypotenuse, cos v = hosliggende / hypotenuse, tan v = motstående / hosliggende. Disse forholdstallene er faste for en gitt vinkel, uavhengig av hvor stor trekanten er.
Tegner du sin v som funksjon av vinkelen v, får du en jevn bølge som starter i null, stiger til 1 ved 90 grader, synker tilbake til null ved 180 grader, fortsetter ned til minus 1 ved 270 grader og er tilbake i null ved 360 grader. Cosinus-grafen har samme form, men er forskjøvet: den starter i 1 ved null grader.
I elektrofaget er dette direkte nyttig. Vekselspenning fra nettet (230 V) svinger etter en sinusfunksjon: u(t) = U_maks multiplisert med sin(2 pi f t), der f er frekvensen (50 Hz i Norge). Grafen viser deg toppverdi, periode og hvordan spenningen varierer over tid. Tangens brukes blant annet når du regner på faseforskyvning i kretser med kondensatorer og spoler.
I datateknologi brukes sinusfunksjoner til signalbehandling, lydkoding og beregning av bølgeformer i kommunikasjonssystemer.
Eksempel: I en rettvinklet trekant er hypotenusen 10 cm og motstående side for vinkelen v er 6 cm. Finn sin v, cos v og tan v. Steg 1: Finn hosliggende side med Pythagoras: hosliggende = kvadratroten av (10 kvadrat minus 6 kvadrat) = kvadratroten av 64 = 8 cm. Steg 2: sin v = 6/10 = 0,6. Steg 3: cos v = 8/10 = 0,8. Steg 4: tan v = 6/8 = 0,75. Steg 5: Finn selve vinkelen med kalkulator: v = arcsin(0,6) som gir omtrent 36,9 grader.
Husk å sette kalkulatoren i grader (DEG), ikke radianer, når du jobber med vinkler oppgitt i grader.
Den vanligste feilen er å blande motstående og hosliggende side. Motstående side er alltid den siden som ikke er i kontakt med vinkelen du ser på. Hosliggende side er den kortere siden som er inntil vinkelen. Hypotenusen er alltid den lengste siden, rett overfor den rette vinkelen.
En annen vanlig feil er å glemme å kontrollere at kalkulatoren er satt til grader. Bruk gjerne huskeregelen SOH-CAH-TOA: Sin er Opposite over Hypotenuse, Cos er Adjacent over Hypotenuse, Tan er Opposite over Adjacent.
For å øve best: start med å tegne trekanten og merk av sidene før du setter inn tall. Tegn gjerne sinus- og cosinus-grafen for hand og merk av verdiene ved 0, 90, 180, 270 og 360 grader. Koble oppgavene til elektrofaget ved å se på eksempler med vekselspenning, og prøv å lese av toppverdi og periode fra en graf.
En spenningskurve for vekselspenning har en toppverdi på 325 V og følger funksjonen u = 325 multiplisert med sin v. Hva er spenningen når vinkelen er 30 grader?
Fasit: u = 162,5 V
Steg 1: Sett inn v = 30 grader i formelen: u = 325 multiplisert med sin(30). Steg 2: sin(30 grader) = 0,5 (dette er en kjent verdi). Steg 3: u = 325 multiplisert med 0,5 = 162,5 V. Svaret er at spenningen er 162,5 V ved 30 grader.
Prøv Lekselos gratis i 14 dager for å lese hele forklaringen, se eksemplet steg for steg og øve på matematikk tilpasset deg.
Lekselos loser barnet gjennom oppgaven ett steg om gangen, så det lærer i stedet for å kopiere. Du får ukeplan, prøver og gloser samlet, og ser hva som er gjort. Forankret i LK20, laget i Norge. 14 dager gratis, uten kort.
Alle tre er forholdstall mellom sider i en rettvinklet trekant. Sinus er motstående delt på hypotenusen, cosinus er hosliggende delt på hypotenusen, og tangens er motstående delt på hosliggende. De gir ulik informasjon avhengig av hvilke sider og vinkler du kjenner.
Vekselspenning svinger i et mønster som beskrives nøyaktig av en sinusfunksjon. Med sinus kan du beregne øyeblikksverdier, toppverdi og periode for spenning og strøm i vekselstrømkretser.
Det er en huskeregel på engelsk for definisjonene. SOH betyr sin = motstående over hypotenuse, CAH betyr cos = hosliggende over hypotenuse, og TOA betyr tan = motstående over hosliggende.
De har samme bølgeform, men cosinus starter i 1 ved null grader mens sinus starter i null. Cosinus-grafen er altså forskjøvet 90 grader til venstre sammenlignet med sinus-grafen.
I oppgaver på ungdomsskole og videregående brukes grader med mindre noe annet er oppgitt. Sjekk at kalkulatoren viser DEG, ikke RAD, før du regner.
Forankring i læreplanen: Kompetansemål (LK20): Fag: Læreplan i matematikk fellesfag vg1 praktisk (matematikk P) Trinn: 1P-Y EL Kompetansemål: Eleven skal kunne gjøre rede for definisjonene av sinus, cosinus og tangens, tolke definisjonene grafisk og knytte dem til eksempler fra elektro og datateknologi. Nynorsk: Eleven skal kunne gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens, tolke definisjonane grafisk og knyte dei til døme frå elektro og datateknologi. Kjerneelement: Modellering og anvendingar, Resonnerin (Kilde: Utdanningsdirektoratet)
Lekselos loser deg gjennom oppgaver med hint, ikke fasit, og lager øving tilpasset deg. Prøv gratis.
