I 1T ser du på sammenhengen mellom tre ting som henger tett sammen: andregradslikninger, andregradsulikheter og andregradsfunksjoner. Når du løser en likning, finner du nullpunktene til en funksjon. Kvadratsetningene er verktøyene som hjelper deg å faktorisere og forenkle. Sammen gir dette deg et kraftig sett med metoder for å løse reelle problemer.
En andregradslikning som x² - 5x + 6 = 0 finner nullpunktene til andregradsfunksjonen f(x) = x² - 5x + 6. Løsningene er x-verdiene der parabolen krysser x-aksen. En andregradsulighet forteller deg hvilke x-verdier som gir f(x) større eller mindre enn null.
En andregradsfunksjon skrives som f(x) = ax² + bx + c, og grafen er en parabel. Når du setter f(x) = 0, får du en andregradslikning. Løsningene på likningen er altså nullpunktene til funksjonen, det vil si der parabolen skjærer x-aksen.
En andregradsulighet, for eksempel x² - 5x + 6 < 0, spør deg om noe annet: for hvilke x-verdier ligger parabelen under x-aksen? Svaret er et intervall, ikke enkeltpunkter. Derfor henger likning og ulikhet tett saman: du starter med å løse likningen, og bruker nullpunktene til å besvare ulikheten.
Kvadratsetningene, som (a + b)² = a² + 2ab + b² og (a + b)(a - b) = a² - b², er snarveier for å gange ut og faktorisere uttrykk. De dukker opp igjen og igjen når du jobber med andregradsuttrykk, og det lønner seg å kjenne dem godt.
Steg 1: Skriv likningen på formen ax² + bx + c = 0. Prøv å faktorisere ved hjelp av kvadratsetningene eller ved å finne to tall som ganger til c og adderer til b. Alternativt bruker du abc-formelen: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
Steg 2: Finn nullpunktene x₁ og x₂. Disse deler tallinja i tre intervaller.
Steg 3: For å løse en tilhørende ulikhet, for eksempel f(x) < 0, tegner du parabelen grovt eller setter inn en testverdi i hvert intervall. Der f(x) er negativ, ligger parabelen under x-aksen. Svaret skrives som et intervall, for eksempel x₁ < x < x₂.
Faktorisering med kvadratsetningene: Gjenkjenner du mønsteret a² - b², kan du skrive det som (a + b)(a - b) direkte. Gjenkjenner du a² + 2ab + b², er det (a + b)². Dette sparer tid og gir deg faktorene uten abc-formelen.
En svært vanlig feil er å tro at svaret på en ulikhet er to enkeltpunkter, slik som x = 2 og x = 3. Svaret på en ulikhet er et intervall, for eksempel 2 < x < 3 eller x < 2 og x > 3. Sjekk alltid hva ulikheten spør om.
En annen feil er å glemme å snu ulikhetstegnet når man ganger eller deler med et negativt tall. Hvis du for eksempel deler begge sider med -2, må < bli >.
Mange forveksler også (a + b)² med a² + b². Husk at (a + b)² = a² + 2ab + b². Mellomleddet 2ab mangler hvis du glemmer det, og det gir feil svar.
Pass også på fortegnet foran c i abc-formelen. Skriv likningen fullt ut og identifiser a, b og c nøye før du setter inn.
Start med å øve på å gjenkjenne kvadratsetningene i uttrykk. Ta et uttrykk som x² + 6x + 9 og tren på å se at det er (x + 3)². Jo raskere du ser mønsteret, desto lettere blir faktoriseringen.
Koble alltid likningen til grafen. Når du løser x² - x - 6 = 0 og får x = 3 og x = -2, åpner du en grafkalkulator og tegner f(x) = x² - x - 6. Se at parabelen faktisk krysser x-aksen akkurat der. Denne koblingen mellom algebra og grafisk fremstilling styrker forståelsen mye.
Lag deg en vane med å løse ulikheten rett etter likningen. Når du har funnet nullpunktene, spør deg selv: for hvilke x-verdier er f(x) positiv, og for hvilke er den negativ? Bruk parabelen til å lese svaret.
Varier mellom faktorisering, abc-formelen og fullføring av kvadratet. Å mestre flere metoder gjør deg mer fleksibel i eksamenssituasjoner.
Løs likningen x² - 5x + 6 = 0, og finn deretter for hvilke x-verdier x² - 5x + 6 < 0.
Fasit: Likning: x = 2 og x = 3. Ulikhet: 2 < x < 3.
Steg 1: Finn to tall som ganger til 6 og adderer til -5. Det er -2 og -3. Faktoriser: (x - 2)(x - 3) = 0. Steg 2: Nullpunktene er x = 2 og x = 3. Steg 3: Parabelen åpner oppover (a = 1 > 0). Den ligger under x-aksen mellom nullpunktene. Svaret på ulikheten x² - 5x + 6 < 0 er derfor 2 < x < 3. Sjekk: sett inn x = 2,5: (2,5)² - 5(2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 < 0. Stemmer.
Prøv Lekselos gratis i 14 dager for å lese hele forklaringen, se eksemplet steg for steg og øve på matematikk tilpasset deg.
Lekselos loser barnet gjennom oppgaven ett steg om gangen, så det lærer i stedet for å kopiere. Du får ukeplan, prøver og gloser samlet, og ser hva som er gjort. Forankret i LK20, laget i Norge. 14 dager gratis, uten kort.
En andregradslikning gir deg enkeltpunkter der funksjonen er lik null. En andregradsulighet gir deg intervaller der funksjonen er større eller mindre enn null. Du bruker løsningene fra likningen som startpunkt for å besvare ulikheten.
Du trenger tre: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², og (a + b)(a - b) = a² - b². Disse lar deg faktorisere og gange ut andregradsuttrykk raskt og sikkert.
Se på ledende koeffisient a. Hvis a > 0, åpner parabelen oppover og er negativ mellom nullpunktene. Hvis a < 0, åpner den nedover og er negativ utenfor nullpunktene. Du kan alltid dobbelsjekke ved å sette inn en testverdi.
Prøv faktorisering først. Hvis du ikke finner to hele tall som passer etter noen sekunder, bruker du abc-formelen. Diskriminanten b² - 4ac forteller deg om likningen har to løsninger, en løsning eller ingen reelle løsninger.
Nullpunktene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen, altså der f(x) = 0. Setter du f(x) lik null, får du en likning. Løsningene på likningen er derfor akkurat de x-verdiene der grafen treffer x-aksen.
Forankring i læreplanen: Kompetansemål (LK20): Fag: Læreplan i matematikk fellesfag vg1 teoretisk (matematikk T) Trinn: 1T Kompetansemål: Eleven skal kunne utforske sammenhenger mellom andregradsligninger og andregradsulikheter, andregradsfunksjoner og kvadratsetningene og bruke sammenhengene i problemløsing. Nynorsk: Eleven skal kunne utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing. Kjerneelement: Utforsking og pro (Kilde: Utdanningsdirektoratet)
Lekselos loser deg gjennom oppgaver med hint, ikke fasit, og lager øving tilpasset deg. Prøv gratis.
